已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．（1）如图1，若点F落在线段BD上，请

Question

已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．
（1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是___
（2）如图2，若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数量关系．

Answer 1

（1）如图1，连接AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=(1)/(2)∠ABC=30°，
∴∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AF=EF，
∴EF=FD；
∵∠AEF=60°，
∴∠BAE=30°=∠ABO，
∴AE=BE，

（2）成立，如图3，
连接CE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，
∴AD=CD，AE=EF，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠AEF=60°，
∴△ACD和△AEF是等边三角形，
∴AC=AD，AE=AF=EF，∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，

AC=AD

∠CAE=∠DAF

AE=AF

，
△ACE≌△ADF，
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE=EF

（3）如图2，∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE，
∵点C，E，G在同一条直线上，
∴∠AEG=2∠CAE=30°，
∴∠CAE=15°，
∵∠BAO=60°°，
∴∠BAE=75°，
∵∠ABO=(1)/(2)∠ABC=30°，
∴∠AEB=75°=∠BAE，
∴BE=AB，
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，
∴cos∠ABO=(OB)/(AB)=(√(3))/(2)，
∴OB=(√(3))/(2)AB=(√(3))/(2)BE，
∴BD=2OB=√(3)BE．