已知直线L:y=k(x-2)+4与曲线C；Y=1+根号下4-X的平方,有两个不同的交点,求实数K的取值范围

Question

已知直线L:y=k(x-2)+4与曲线C；Y=1+根号下4-X的平方,有两个不同的交点,求实数K的取值范围

Answer 1

由题意,作草图.
第一个曲线是圆x^2+(y-1)^2=4的y≥1的部分(上半圆部分).
直线y=k(x-2)+4过定点(2,4)
要使两函数有两交点,k一定>0,其范围在以点(2,4)向圆作切线的斜率和连接点(2,4)和点(-2,1)的直线的斜率范围之间.
求出这条切线的斜率:
圆心的切线的距离为半径长:
2=|2k+1-4|/√(k^2+1)
解之,k=5/12
连接二个点的直线的斜率是k=(4-1)/(2+2)=3/4
所以k的范围是(5/12,3/4]