等差数列公式问题若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p则：am+an=2ap这两个公式的p和q是什么?

Question

等差数列公式问题
若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则：am+an=2ap
这两个公式的p和q是什么?

Answer 1

这里面的p和q是任意两个不相等的正整数,其实是需要满足m、n、p、q是互不相等的4个正整数.只要满足上述条件,公式是恒成立的.证明如下：
设公差为d
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d
m+n=p+q
2a1+(m+n-2)d=2a1+(p+q-2)d
am+an=ap+aq
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d
2ap=2[a1+(p-1)d]=2a1+2(p-1)d=2a1+(2p-2)d=2a1+(m+n-2)d
am+an=2ap
看到了吧,只要满足我最开始说的条件,等式是恒成立的.