关于卡方分布方差推导,D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2,如何用分步积分法得到E(Yn^4)=3

Question

关于卡方分布方差推导,D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2,如何用分步积分法得到E(Yn^4)=3

Answer 1

设标准正态分布的密度函数φ(y)=[1/√(2π)]e^(-y²/2)
E(Yn^4)
=∫[-∞→+∞] y^4φ(y) dy
=[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y^4e^(-y²/2) dy
=(1/2)[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y³e^(-y²/2) d(y²)
=[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y³e^(-y²/2) d(y²/2)
=-[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y³ d(e^(-y²/2))
=-[1/√(2π)]y³e^(-y²/2)+3[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y²e^(-y²/2)dy      |[-∞→+∞]
=0+3[1/√(2π)]∫[-∞→+∞] y²e^(-y²/2)dy
=3∫[-∞→+∞] y²φ(y)dy
=3E(Yn²)
=3 
怕你看不清楚,给你截图重做一次,如有问题,