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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:
(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)
∵向量组α1,α2,α3线性相关,
∴向量组α1,α2,α3中至少有一个可以由其他两个线性表示;
又∵向量组α2,α3,α4线性无关
∴向量组α2,α3,α4中任意一个均不能由其他两个表示出来;
从而:α2和α3不能相互表示,
即α2和α3是线性无关的;
故:α1能由α2,α3线性表出.
(2)
∵α1能由α2,α3线性表出,且向量组α2,α3,α4线性无关,
∴α1和α4是线性无关的;
从而:α4不能由α1,α2,α3线性表出.
(1)
∵向量组α1,α2,α3线性相关,
∴向量组α1,α2,α3中至少有一个可以由其他两个线性表示;
又∵向量组α2,α3,α4线性无关
∴向量组α2,α3,α4中任意一个均不能由其他两个表示出来;
从而:α2和α3不能相互表示,
即α2和α3是线性无关的;
故:α1能由α2,α3线性表出.
(2)
∵α1能由α2,α3线性表出,且向量组α2,α3,α4线性无关,
∴α1和α4是线性无关的;
从而:α4不能由α1,α2,α3线性表出.
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