已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+x+3其中a≠0,（1）当a,b满足什么条件时fx)取得极值（2）已知a>0且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示b的取值范围第一个题要分类讨论.

Question

已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+x+3其中a≠0,（1）当a,b满足什么条件时fx)取得极值（2）已知a>0且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示b的取值范围
第一个题要分类讨论.

Answer 1

（1）对f(x)求导得,f'(x)=ax^2+2bx+1,当f(x)取得极值的时候,那么导数f'(x)=ax^2+2bx+x+1=0
变换提取a,ax^2+2bx+x+1=a*(x^2+2b/a*x+b^2/a^2-b^2/a^2)+1
=a*(x+b/a)^2-b^2/a+1=0
则,a*(x+b/a)^2=b^2/a-1,所以(x+b/a)^2=(b^2-a)/a^2,
又因为(x+b/a)^2>=0,那么(b^2-a)/a^2>=0,所以b^2-a>=0
所以a、b的关系式满足af(0),即a/3+b+4>3 (1)
在（0,1]上f'(x)恒大于0,那么f'(1)>0,那么a+2b+1>0 (2)
结合两式,得出a、b取值范围.