对三等三角形的详细解答如图：等边△ABC和△CDE,点P为射线BC一动点,角APK=60°,PK交直线CD与K.1:试探索AP、PK之间的数量关系；2：当点P运动到BC的延长线上时,上题结论还成立吗?为什么.

Question

对三等三角形的详细解答
如图：等边△ABC和△CDE,点P为射线BC一动点,角APK=60°,PK交直线CD与K.
1:试探索AP、PK之间的数量关系；
2：当点P运动到BC的延长线上时,上题结论还成立吗?为什么.

Answer 1

都成立
过P做PH//AC,交AB于H
∵△ABC是等边三角形
∴△HBP是等边三角形
∴BH = BP
∵AB = CB
∴AH = PC
∴∠AHP = 120°
∵△DCE是等边三角形
∴∠PCK = 180°-∠DCE = 120°
∴∠AHP = ∠PCK
∵∠APC = ∠B+∠BAP = ∠APK + ∠KPC
∠B = ∠APK = 60°
∴∠BAP = ∠KPC
∵∠HAP = ∠KPC,AH=PC,∠AHP = ∠PCK
∴△AHP≌△PCK
∴AP = PK （见图一）
2）
过P做PJ//DE,交CD于J
∵△CDE是等边三角形
∴CP = PJ,∠CPJ = 60°
∵∠APK = 60°
∴∠CPA = ∠JPK
∵△ABC是等边三角形
∴∠BCA = 60°
∴∠ACD = 60°
∵∠APK =60°
∴∠CAP = ∠JPK
∵∠CAP = ∠JPK
∠APC = ∠KPJ
CP = JP
∴△ACP≌△JPK
∴AP = PK （见图二））