求积分...1.∫[1,e]sin(lnx)dx(其中1为积分下限,e为积分上限)2.J[m]=∫[0,Pi][x*(sinx)^m]dx(其中0为积分下限,Pi为积分上限,m为J的下标,m为自然数）

Question

求积分...
1.∫[1,e]sin(lnx)dx (其中1为积分下限,e为积分上限)
2.J[m]=∫[0,Pi] [x*(sinx)^m]dx (其中0为积分下限,Pi为积分上限,m为J的下标,m为自然数）

Answer 1

1.分部积分法
∫[1,e]sin(lnx)dx
=x*sin(lnx)|[1,e]-∫[1,e]cos(lnx)dx
=x*sin(lnx)|[1,e]-x*cos(lnx)|[1,e]-∫[1,e]sin(lnx)dx
所以.
∫[1,e]sin(lnx)dx
=1/2*{x*sin(lnx)|[1,e]-x*cos(lnx)|[1,e]}
=1/2{-esin1-1+ecos1}
2.变量替换
令x=Pi-u则dx=-du
J[m]=∫[0,Pi] [x*(sinx)^m]dx
=∫[Pi,0](Pi-u)*[sin(Pi-u)]^m(-du)
=∫[0,Pi]Pi(sinu)^mdu-∫[0,Pi] [u*(sinu)^m]dx
所以J[m]=∫[0,Pi] [x*(sinx)^m]dx=Pi/2*∫[0,Pi](sinu)^mdu
对于*∫(sinx)^ndx的积分,教科书上有,自己去看看吧