关于极限存在的问题关于以下几种说法,判断正误,如果错误,请举出反例.如果正确,也请举例说明：1.若一极限存在,一极限不存在,其和差的极限一定不存在.2.两极限存在,其和差的极限一定存在

Question

关于极限存在的问题
关于以下几种说法,判断正误,如果错误,请举出反例.如果正确,也请举例说明：
1.若一极限存在,一极限不存在,其和差的极限一定不存在.
2.两极限存在,其和差的极限一定存在.
3.两极限都不存在,其和差的极限不一定存在.
（此外,把上述条件的和差的极限改为乘积的极限又是怎样的结论呢?）

Answer 1

1、 正确.lim an存在,lim bn不存在,则lim an+bn不存在.
反证法：若lim an+bn存在,则lim bn=lim (an+bn-an)
=lim （an+bn）-lim an 存在,矛盾.
2、正确.这是极限的四则运算.
3、正确.比如an=(-1)^n,bn=(-1)^n,则lim an与lim bn都不存在,但
lim (an-bn)存在.
对于乘积形式,
1、结论改为不一定.比如an=1/n,bn=n,
lim an=0,lim bn不存在,但lim an*bn=1存在.
2、正确.极限的四则运算.
3、正确.an=(-1)^n,bn=(-1)^n,lim an与lim bn不存在,
但lim an*bn=1存在.