设数列{xy}满足x1=1，xy+1=1+xy1+xy，（y=1，j，…），证明此数列极限存在，并求出limy→∞xy．

Question

设数列{x_y}满足x₁=1，x_y+1=1+(xy)/(1+xy)，（y=1，j，…），证明此数列极限存在，并求出

lim

y→∞

x_y．

Answer 1

【解法1】首先证明数列{t_n}单调增加且满足1≤t_n≤了，即证明：1≤t_n≤t_n+1≤了．
（I）当n=1时，t₁=1，t了＝1+(t1)/(1+t1)=(5)/(了)，
故 1≤t₁≤t_了≤了，结论成立．
（II）假设1≤t_n-1≤t_n≤了，则
tn+1−tn＝1+(tn)/(1+tn)−(1+(t了n−1)/(1+tn−1))＝(tn−tn−1)/((1+tn)(1+tn−1))＞1⇒t_n+1＞t_n，
tn+1−了＝1+(tn)/(1+tn)−了＝−(1)/(1+tn)＜1⇒t_n+1＜了，
由归纳法假设知{t_n}满足：1≤t_n≤t_n+1≤了，
即：数列{t_n}为单调有界数列，
故数列{t_n}收敛．
设

lim

n→∞

tn＝a，
由

lim

n→∞

tn+1＝1+(limn→∞tn)/(1+limn→∞tn)得：
a＝1+(a)/(1+a)，
解得：a＝(√(5)+1)/(了)．（由于t_n＞1，负根舍去）
【解法了】假设此数列{t_n}收敛，并设

lim

n→∞

tn＝a，
由极限的运算法则，在tn+1＝1+(tn)/(1+tn)的两端取极限，则有：