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一个高等代数问题,A,B是n阶复数方阵,A可逆,B幂零,且AB=BA,证明A+B是可逆矩阵
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一个高等代数问题,
A,B是n阶复数方阵,A可逆,B幂零,且AB=BA,证明A+B是可逆矩阵
A,B是n阶复数方阵,A可逆,B幂零,且AB=BA,证明A+B是可逆矩阵
▼优质解答
答案和解析
可以利用下一道我在贴吧答过的题:A、B是n阶方阵,若B幂零,且AB=BA,则A+B与A有相同特征值:
前面的直接复制了…
若AB=BA,则A、B可同时相似上三角化(即存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP、P^(-1)BP同为上三角矩阵,且对角线上元素分别为A、B的所有特征值).记这两个上三角矩阵分别为A1、B1,则A+B与A1+B1相似,从而它们有完全相同的特征值,由B是幂零矩阵可知B、B1的全部特征值为0,则A1+B1的特征值等于A1的特征值,即A+B的特征值等于A的特征值,所以|A+B|=|A|,又|A|不等于0,从而|A+B|不等于0,所以A+B可逆
前面的直接复制了…
若AB=BA,则A、B可同时相似上三角化(即存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP、P^(-1)BP同为上三角矩阵,且对角线上元素分别为A、B的所有特征值).记这两个上三角矩阵分别为A1、B1,则A+B与A1+B1相似,从而它们有完全相同的特征值,由B是幂零矩阵可知B、B1的全部特征值为0,则A1+B1的特征值等于A1的特征值,即A+B的特征值等于A的特征值,所以|A+B|=|A|,又|A|不等于0,从而|A+B|不等于0,所以A+B可逆
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