一个高等代数问题,A,B是n阶复数方阵,A可逆,B幂零,且AB＝BA,证明A＋B是可逆矩阵

Question

一个高等代数问题,
A,B是n阶复数方阵,A可逆,B幂零,且AB＝BA,证明A＋B是可逆矩阵

Answer 1

可以利用下一道我在贴吧答过的题：A、B是n阶方阵,若B幂零,且AB=BA,则A+B与A有相同特征值：
前面的直接复制了…
若AB=BA,则A、B可同时相似上三角化（即存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP、P^（-1）BP同为上三角矩阵,且对角线上元素分别为A、B的所有特征值）.记这两个上三角矩阵分别为A1、B1,则A+B与A1+B1相似,从而它们有完全相同的特征值,由B是幂零矩阵可知B、B1的全部特征值为0,则A1+B1的特征值等于A1的特征值,即A+B的特征值等于A的特征值,所以|A+B|=|A|,又|A|不等于0,从而|A+B|不等于0,所以A+B可逆