已知函数f（x）=ex+e-x（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是___．

Answer 1

若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x>0，∴e^x+e^-x-1>0，
即m≤(e-x-1)/(ex+e-x-1)在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t>1），则m≤(1-t)/(t2-t+1)在（1，+∞）上恒成立，
∵(1-t)/(t2-t+1)=-(t-1)/((t-1)2+(t-1)+1)=-(1)/(t-1+(1)/(t-1)+1)≥-(1)/(3)，
当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-(1)/(3)．
故答案为：（-∞，-(1)/(3)]．