已知函数f(x)=log以3为底1+x分之1-x的对数

Question

已知函数f(x)=log以3为底1+x分之1-x的对数

Answer 1

已知函数f(x)=log₂[(1+x)/(1-x)],g(x)=log₂[(1+x)/k]；当k=2时,解不等式f(x)≧g(x)；%D%A若x∊ [1/3,1/2]时,f(x)≦g(x)恒成立,求实数k的取值范围.%D%A(1).log₂[(1+x)/(1-x)]≧log₂[(1+x)/2]%D%A即有(1+x)/(1-x)≧(1+x)/2%D%A(1+x)/(1-x)-(1+x)/2=[2(1+x)-(1+x)(1-x)]/[2(1-x)]=(x+1)²/[2(1-x)]≧0%D%A即(x+1)²/(x-1)≦0,故得x<1或x=-1为该不等式的解.%D%A(2).(1+x)/(1-x)≦(1+x)/k在[1/3,1/2]上恒成立.%D%A(1+x)/(1-x)-(1+x)/k=[k(1+x)-(1+x)(1-x)]/[k(1-x)]=(x²+kx+k-1)/[k(1-x)]≦0.(1)%D%A由于1/3≦x≦1/2,故1-x>0恒成立,故要式不等式(1)在[1/3,1/2]上恒成立,只需%D¯(x)=(x²+kx+k-1)/k=[(x+k/2)²-k²/4+k-1]/k≦0%D%A当对称轴x=-k/2≦1/3,-k≦2/3,即k≧-2/3时,要使(1)成立,只需f(1/2)=[(1/2+k/2)²-k²/4+k-1]/k%D%A=(3k/2-3/4)/k=(6k-3)/(4k)=6(k-1/2)/(4k)≦0,故得0