设X1;X2独立同参数为\x15的指数分布(\x15>0),并令Y1=X1,Y2=X1+X2.求(Y1;Y2)的联合密度函数.Y1Y2不独立所以不可用直接乘积,只好直接求F（Y1,Y2）=P(Y1

Question

设X1;X2 独立同参数为\x15 的指数分布(\x15 > 0),并令Y1 = X1,Y2 = X1 + X2.求(Y1; Y2) 的联合密度函数.
Y1 Y2不独立所以不可用直接乘积,只好直接求F（Y1 ,Y2）=P(Y1

Answer 1

方法是用Jacobian x1和x2是独立的因此f(x1,x2)已知.只需要求y1,y2相对x的jacobian即可
设x1和x2的密度函数都是fx(x),则f(x1,x2)=fx(x1)fx(x2)
x1=y1,x2=y2-y1,J=det (1 0)
(-1 1)
=1
因此f(y1,y2)=fx(y1)fx(y2-y1),其中f(x)为指数分布带入即可