为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船绕着该星球做匀速圆周运动，测得其周期为T1，轨道半径为r1；随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球表面很近的轨道上做匀速圆周运动，测得其周期为

Question

为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船绕着该星球做匀速圆周运动，测得其周期为T₁，轨道半径为r₁；随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球表面很近的轨道上做匀速圆周运动，测得其周期为T₂．已知万有引力常量为G．求：
（1）该星球的质量M；
（2）星球表面的重力加速度g_星．

Answer 1

（1）设星球质量为M，飞船质量为m₁
万有引力提供圆周运动向心力G(Mm1)/(r12)＝m1((2π)/(T1))2r1
所以M＝(4π2r13)/(GT12)
（2）设星球的半径为R，
对星球表面上的物体m₀，m0g星＝G(Mm0)/(R2)
又(r13)/(T12)＝(R3)/(T22)
以上各式可解得g_星=4π2r1((1)/(T12T24))(1)/(3)
答：（1）该星球的质量M为(4π2r13)/(GT12)．
（2）星球表面的重力加速度g_星为4π2r1((1)/(T12T24))(1)/(3)．