已知X+Y=1,X,Y属于正数证明(X+1/X)(Y+1/Y)>=25/4可以用三角函数做出来么？

Question

已知X+Y=1,X,Y属于正数
证明(X+1/X)(Y+1/Y)>=25/4
可以用三角函数做出来么？

Answer 1

(x+1/x)(y+1/y)
=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=[(x^2+1)(y^2+1)]/xy
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=[(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[1-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[2-2xy+(xy)^2]/xy
=xy+2/xy-2.
由基本不等式：a+b>=2√ab
得：xy=25/4