已知f（x）在[0,1]连续,(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1/2,试证明存在不同的h,j使得f'(h)+f'(j)=h+j

Question

已知f（x）在[0,1]连续,(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1/2,试证明存在不同的h,j使得f'(h)+f'(j)=h+j

Answer 1

可以这样做：构造F1(x)=f(x)-x^2/2-(f(1/2)-1/8)*(2x) 则F1(0)=F1(1/2)=0 所以存在h属于（0,1/2）
使得(F1)'(h)=0 即f'(h)-h=2(f(1/2)-1/8)
再构造F2(x)=f(x)-x^2/2-(f(1/2)-1/8)*2(1-x) 则F2(1)=F1(1/2)=0 所以存在j属于（1/2,1）
使得(F2)'(h)=0 即f'(j)-j=-2(f(1/2)-1/8)
所以存在不同的h,j 使得f'(h)+f'(j)=h+j