函数问题f(x)二阶连续可导，f(0)=f(1)=0,f(x)在区间[0，1]上的最小函数问题f(x)二阶连续可导，f(0)=f(1)=0,f(x)在区间[0，1]上的最小值为-1，证明：maxf"(x)≥8.

Question

函数问题 f(x)二阶连续可导，f(0)=f(1)=0,f(x)在区间[0，1]上的最小
函数问题
f(x)二阶连续可导，f(0)=f(1)=0,f(x)在区间[0，1]上的最小值为-1，证明：max f"(x)≥8.

Answer 1

证明一:设c是f(x)在[0,1]上的一个最小值点,则0构造辅助函数
g(x)=f(x)+4x(1-x),则g(x)在[0,1]上二阶可导,且
g'(x)=f'(x)+4-8x.
g''(x)=f''(x)-8.
f''(x)=g''(x)+8.
g(0)=g(1)=0.
g(c)=f(c)+4x(1-x)=-1+4x(1-x)=-(2x-1)^2≤0.
假设在(0,1)上g''(x)<0恒成立,则在(0,1)上g'(x)严格递减。分两种情况讨论:
1.若g'(c)≥0,则在(0,c)上g'(c)>0恒成立。因此g(x)在[0,c]上严格递增,从而
g(c)>g(0)=0.
这与g(c)≤0矛盾。
2.若g'(c)<0,则在(c,1)上g'(c)<0恒成立。因此g(x)在[c,1]上严格递减,从而
g(c)>g(1)=0.
这与g(c)≤0矛盾。
也就是说,反设不成立,即存在t∈(0,1)使得f''(t)≥8。
证明二:由条件f(0)=f(1)=0,，根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，满足f'(ξ)=0。
令F(x) = (1-x)²f'(x)，则F(η) = F(1) = 0
再次运用它罗尔定理 存在ξ∈(η,1)，使F'(ξ)=0，即(1-ξ)²f''(ξ)-2(1-ξ)f'(ξ)=0
由于ξ<1，所以1-ξ不等于0，所以(1-ξ)f''(ξ)-2f'(ξ)=0，即f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ).
证毕