洛必达法则的本质为什么是泰勒展开呢?

Question

洛必达法则的本质为什么是泰勒展开呢?

Answer 1

设：函数：f(x)和g(x)在x=a处有连续的高阶导数,将f(x)和g(x)在x=a处展成泰勒级数：
f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+.（1）
g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)/1!+g''(a)(x-a)^2/2!+g'''(a)(x-a)^3/3!+.（2）
由于：lim(x->a) [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=lim(x->a) 0/0 的不定式,此时根据洛必达法则,有：
lim(x->a) [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=lim(x->a)f'(a)/g'(a) （3）
实际上：(3)式也可以通过代入泰勒展式（1）、（2）得到,因此：洛必达法则的本质是泰勒展式.此外（3）式：lim(x->a) [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=lim(x->a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}/{[g(x)-g(a)]/(x-a)}=
=lim(x->a)f'(a)/g'(a)
如果：lim(x->a)f'(a)/g'(a)还是0/0不定式,那么该极限就等于：f''(a)/g''(a).
对于其它类型的不定式也有类似的结果.