求f（u）的泰勒公式其中u=g（x）请问在用泰勒公式定义计算中的求导是对u求导还是对x求导主要就是复合函数的泰勒公式展开问题或者就是为什么sin（3x）展开泰勒公式时可以直接将3x带入

Question

求f（u）的泰勒公式 其中u=g（x） 请问在用泰勒公式定义计算中的求导是对u求导还是对x求导
主要就是复合函数的泰勒公式展开问题或者就是为什么 sin（3x）展开泰勒公式时可以直接将3x带入

Answer 1

问得好！
考虑问题，如此细致，可敬可佩！可喜可贺！
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1、原则上来说，确确实实，是应该对最后的 x 求导，
而不是对中间变量 u 求导；
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2、由于函数展开之后的级数，级数求和之后的和函数，
它们在极限的情况下，是严格相等的：
A、不但是和的相等，也就是敛散性一致；
B、两侧的变量代换也是相等的，也就是说，两边只要
对应，连复合composite也是一致的。
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3、如果对sin3x的x求导后的展开，可以证明，结果是
一样的。对于见到的幂函数power function，就可以
在展开式之后的级数中复合，也就是变量代换substituion。
若展开式后的要求是幂级数 power series，譬如 sin(x - 3)，
就不可以在 sinx 的展开式 expansion 中代入 x- 3 得到 x
的幂级数，而是得到了泰勒级数 Taylor series。也就是说，
我们平时所说的幂级数，其实就是麦克劳林级数 Mclaurin's
series。
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