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如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。（1）求x的取值范
题目详情
| 如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。 |
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| （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ |
▼优质解答
答案和解析
| （1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴  ，解得1<x<2； （2）①若AC为斜边，则1=x 2 +（3-x） 2 ，即x 2 -3x+4=0，无解； ②若AB为斜边，则x 2 =（3-x） 2 +1，解得x=  ，满足1<x<2； ③若BC为斜边，则（3-x） 2 =1+x 2 ，解得x=  ，满足1<x<2，∴x=  或x= ；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S= xh，①如图甲所示，若点D在线段AB上， 则  ，∴（3-x） 2 -h 2 =x 2 -2x  +1-h 2 ，即x =3x-4，∴x 2 （1-h 2 ）=9x 2 -24x+16，即x 2 h 2 =-8x 2 +24x-16， ∴S 2 =  x 2 h 2 =-2x 2 +6x-4=-2 ，当x=  时（满足 ≤x<2），S 2 取最大值 ，从而S取最大值 ，②如图乙所示，若点D在线段MA上，则  ，同理可得，S 2 =  =-2x 2 +6x-4=-2（x- ） 2 +  ，易知此时S<  ，综合①②得，△ABC的最大面积为  。 |   |
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