xyz为三个小于1的正实数,求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1

Question

x y z 为三个小于1的正实数,求证：
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1

Answer 1

构构一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上
f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z
当x=0时,f(0)=y(1-z)+z
f(0)-1
=y(1-z)+z-1
=y+z-1-yz
=-(y-1)(z-1)-----(y-1