如图所示,质量为M的箱内悬一弹性系数为k的弹簧,弹簧下端系一质量为m的小球,弹簧原长为lo,箱内上、下底间距离为l.初始时箱底离地面高度为h,并静止.小球在弹力和重力作用下达平衡.某时,箱

Question

如图所示,质量为M的箱内悬一弹性系数为k的弹簧,弹簧下端系一质量为m的小球,弹簧原长为lo,箱内上、下底间距离为l.初始时箱底离地面高度为h,并静止.小球在弹力和重力作用下达平衡.某时,箱子自由下落,落地时与地作完全非弹性碰撞.设箱着地时,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等.求
（1）h的最小值为多大?
（2）在（1）的条件下,当箱子着地后,小球不会与箱底碰撞的最小l值.题中设m=M

Answer 1

1）频率是w=√（k/m）,周期是T=2π*√(m/k).弹簧又回到起始位置,且失重坐标系中,起始位置是速度为0,振幅最大的位置.所以最少经历了一个周期的时间.
h=0.5*g*T^2=2g*m/k*π^2
2）着地后,就不是失重情况了,振子在弹簧为lo时（伸长量为l_1=m/k）会具有向下的初始速度 v=gT=2gπ*√(m/k).
根据能量守恒,弹簧最大伸长量为l_2,有如下关系：1/2*k*l_1^2+1/2*m*v^2=1/2*k*l_2^2
可解得l_2=sqrt(m^2/k^2+4*g^2*π^2*m^3/k^3),小球不与箱底相互碰撞的几何条件是lo-l_1+l_2