在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏，游戏规定：所持算式相等的两个人是朋友．有五个同学A、B、C、D、E分别藏在五张大纸牌的后面，A、B、C、D、E所持纸牌前面分别

Question

在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏，游戏规定：所持算式相等的两个人是朋友．有五个同学A、B、C、D、E分别藏在五张大纸牌的后面，A、B、C、D、E所持纸牌前面分别写有五个算式：2^a·5^b、2^c·5^d、2×5、(a－1)(d－1)、(b－1)(c－1)，主持人宣布A、B、C两两是朋友，请大家猜一猜D和E是否是朋友？

Answer 1

　　由于A、B、C两两是朋友，则有2^a·5^b＝2^c·5^d＝10，要判断D和E是否是朋友，就是要看(a－1)(d－1)与(b－1)(c－1)是否相等．

　　∵2^a·5^b＝2^c·5^d＝10

　　∴

　　∴2^a－1·5^b－1＝1　　　　　　　　　　①

　　2^c－1·5^d－1＝1　　　　　　　　　　　②

　　由①得(2^a－1·5^b－1)^d－1＝1，

　　即2^{(a－1)(d－1)}·5^{(b－1)(d－1)}＝1　　　　　　③

　　由②得(2^c－1·5^d－1)^b－1＝1，

　　∴2^{(c－1)(b－1)}·5^{(d－1)(b－1)}＝1　　　　　　④

　　由③、④得2^{(a－1)(d－1)}·5^{(b－1)(d－1)}＝2^{(c－1)(b－1)}·5^{(d－1)(b－1)}

　　∴2^{(a－1)(d－1)}＝2^{(c－1)(b－1)}

　　比较系数，得(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．由此可以判断D和E是朋友．