若函数f（x）=x2|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围．

Question

若函数f（x）=x²|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围___．

Answer 1

f（x）=x²|x-a|=

x3-ax2，x≥a

-x3+ax2，x<a

，
当x≥a时，f（x）=x³-ax²，f′（x）=3x²-2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则

a≤x

3x2-2ax≥0

在[0，2]上恒成立，
由a≤x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
对于3x²-2ax≥0，即2ax≤3x²，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，a≤(3)/(2)x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
当x<a时，f（x）=-x³+ax²，f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则

a>x

-3x2+2ax≥0

在[0，2]上恒成立，
由a>x在[0，2]上恒成立，得a>2；
对于-3x²+2ax≥0，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，a≥(3)/(2)x在[0，2]上恒成立，得a≥3，
∴当x<a时，满足f（x）在[0，2]上单调递增的a≥3．
综上，使函数f（x）=x²|x-a|在区间[0，2]上单调递增的实数a的取值范围是a≤0或a≥3．
故答案为：a≤0或a≥3．