已知各项都是正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6=11，a1，a3，S5成等比数列，（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=2nan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知各项都是正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₆=11，a₁，a₃，S₅成等比数列，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₃=a₁+2d，a₆=a₁+5d=11，
S₅=5a₃，
∵a₁，a₃，S₅成等比数列，
∴a₃a₃=a₁S₅，
联立方程解得，
a₁=1，d=2，
故a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）b_n=2ⁿa_n+1=（2n+1）2ⁿ，
T_n=3•2¹+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ，
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
两式作差可得，
T_n=-3•2¹-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-6-(8(1-2n-1))/(1-2)+（2n+1）2ⁿ⁺¹
=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．