某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．ΔEMN是由电脑控制其形状

Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．ΔEMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合)．
(1)当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
(2)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x)；
(3)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

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Answer 1

【分析】(1)当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时ΔEMN中MN边上的高为0.5米，从而可求MN的长，由三角形面积公式求面积
(2)当MN在矩形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型．当MN在半圆形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型．
(3)根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．

(1)由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时ΔEMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为
(2)当MN在矩形区域内滑动，即时，ΔEMN的面积；
当MN在半圆形区域内滑动，即时，ΔEMN的面积
综上可得
(3)当MN在矩形区域内滑动时，f(x)在区间上单调递减，则f(x)<f(0)=；
当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，
因此当(米)时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．

【点评】本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了三角形面积公式，分段函数求最值以及基本不等式法等解题方法．