高数题求解（x的n次方+y的n次方）＊1/2大于[(x+y)/2]的n次方.利用函数图像的凹凸性证明

Question

高数题求解
（x的n次方+y的n次方）＊1/2大于[(x+y)/2]的n次方.利用函数图像的凹凸性证明

Answer 1

题目：（x的n次方+y的n次方）*1/2大于[(x+y)/2]的n次方,（x>0,y>0,x≠y,n>1）.

设函数f(t)= t 的n次方,
则有f(t)的一阶导数=n* t 的n -1次方,
f(t)的二阶导数=n*(n -1)* t 的n -2次方,
当t>0,
有f(t)的二阶导数>0,
则曲线f(t)=t 的n次方在区间(0, +∞)上是凹的,
按照凹的定义：对于任意的x>0,y>0,x≠y,成立 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2],此即
（x的n次方+y的n次方）*1/2大于[(x+y)/2]的n次方.证毕.