三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且AB＝AC＝202km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的

Question

三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且AB＝AC＝20√(2)km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OA=x（km），或OB=x（km），或点O到BC的距离为x（km），或∠CBO=x（rad）．请你选择用其中的某个x，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

Answer 1

（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交于BC于点D．
∵BD=DC=(1)/(2)BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=√(AC2−DC2)-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=√(OB2−DB2)＝√(x2−202)，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-√(x2−202)，
又20≤x≤20√(2)，
∴y=2x+20-√(x2−202)（20≤x≤20√(2)）…（6分）
（若设OA=x（km），则y=x+2

作业帮用户 2017-11-14 举报

问题解析

（Ⅰ）设OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=√(OB2−DB2)＝√(x2−202)，从而可得y是x的函数表达式；若设OA=x（km），可求得y=x+√((20−x)2+202)（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），可求得y=20+(20(2−sinx))/(cosx)（0≤x≤(π)/(4)）；
（Ⅱ）由y=2x+20-√(x2−202)（20≤x≤20√(2)），可求得y′=2-(x)/(√(x2−202))，利用导数法求得在[20，20√(2)]上的极小值即可．

名师点评

本题考点：

解三角形的实际应用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题考查解三角形的实际应用，着重考查求函数解析式的方法，求得函数解析式是关键，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．

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