凸正多边体为什么只有5种如题，最好有证明，谢谢

Question

凸正多边体为什么只有5种如题，最好有证明，谢谢

Answer 1

试想，凸正多边体的每个顶点周围，能有多少个正多边形呢？ 显然，至少3个。那么至多呢？ 如果是正三边形（正三角），那么每个顶点周围可以有3个、4个、5个正多边形，而不能有6个或6个以上，否则，这些多边形的角（都是60°）加起来就达到或超过360°，从而多边体就不是凸的了。由顶点周围正三角形的数目组合排列，一共有正四面体，正八面体、正二十面体。 同理，对于正四边形（正方形），每个顶点只能有3个。有正六面体（正方体）一种。 对于正五边形（角为108°），每个顶点只能有3个。有正十二面体，一种。 而正六边形或边数更多的正多边形，角大于等于120°，就不可能拼接成正多边体，否则，相邻多边形的角（都是60°）加起来也都达到或超过360°。 所以，共有5种。 ----- 自己敲的，无参考资料。