求C一道题额：s=1/1!+x2/2!+x3/3!+……+xn/n!,求s.

Question

求C一道题额：s=1/1!+x2/2!+x3/3!+……+xn/n!,求s.

Answer 1

名称定义 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的.[编辑本段]调和级数的推导 随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调合级数,直到无穷级数理论逐步成熟.1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量) 他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n,就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ....1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加,就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .后面那一串和都是收敛的,我们可以定义 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.所以答案是0.577218