关于三角函数的一种解题方法——裂项法求证tana*tan2a+tan2a*tan3a+...+tan(n-1)*tanna=(tanna/tana)-a（注；不要用数归法做.我不是懒人...）顺便做下这道不用裂项的求sin1*sin2*...*sin89的值

Question

关于三角函数的一种解题方法——裂项法
求证tana*tan2a+tan2a*tan3a+...+tan(n-1)*tanna=(tanna/tana) -a（注；不要用数归法做.我不是懒人...） 顺便做下这道不用裂项的 求sin1*sin2*...*sin89的值

Answer 1

1.∵tana=tan(2a-a)=(tan2a-tana)/(1+tan2atana)
--->1+tanatan2a=(tan2a-tana)/tana
∴--->tanatan2a=(tan2a-tana)/tana-1
同理：tan2atan3a=(tan3a-tan2a)/tana-1
tan3atan4a=(tan4a-tan3a)/tana-1
…………
tan(n-1)atana=[tanna-tan(n-1)a]/tana-1∴tanatan2a+tan2atan3a+……+tan(n-1)atanna=(tan2a-tana)/tana-1+(tan3a-tan2a)/tana-1+……+[tanna-tan(n-1)a]/tana-1=[tan2a-tana+tan3a-tan2a+……+tanna-tan(n-1)a]/tana-(n-1)=(tanna-tana)/tana-n+1=tanna/tana-1-n+1=tanna/tana-n2.sinπ/nsin2π/n……sink(n-1)π/n=n/2n-1
然后利用上面的得的公式求解sin1°sin2°sin3°……sin89°
（sin1°sin2°sin3°……sin89°）2
=sin1°sin2°sin3°……sin89°sin91°sin92°...sin179°
=sin1°sin2°sin3°……sin89°sin90°sin91°sin92°...sin179°
=sinπ/180sin2π/180sin3π/180……sin179π/180
=180/2179
∴sin1°sin2°sin3°…sin89°=3√10/289