如图所示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以v0

Question

如图所示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以 v₀=5m/s的速率顺时针匀速转动．将质量为10kg的一袋大米无初速度地放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若CD部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离．
（2）若要米袋能被传送到D端，求CD部分顺时针运转的最小速度，以及米袋从C端到 D端所用的最长时间．

Answer 1

（1）米袋在AB上加速时的加速度a0＝(μmg)/(m)＝μg＝5m/s2．
米袋的速度达到v₀=5m/s时，滑行的距离s0＝(v02)/(2a0)＝2.5m＜AB＝3m，因此米袋在到达B点之前就与传送带达到共速．
设米袋在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得，
mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得a=10m/s²．
所以米袋沿传送带所能上升的最大距离s＝(v02)/(2a)＝1.25m．
（2）设CD部分运转速度为v时米袋恰能到达D点（即米袋到达D点时速度恰好为零），则米袋速度减为v之前的加速度为a1＝gsinθ+μgcosθ＝10m/s2．
米袋速度小于v至减为零前的加速度大小为a2＝gsinθ−μgcosθ＝2m/s2．
由(v02−v2)/(2a1)+(v2)/(2a2)＝4.45m．
解得v=4m/s，即要把米袋送到D点，CD部分顺时针运转的最小速度为4m/s．
米袋恰能运到D点所用时间最长为tm＝(v0−v)/(a1)+(v)/(a2)＝2.1s．
答：（1）米袋沿传送带所能上升的最大距离为1.25m．
（2）CD部分顺时针运转的最小速度为4m/s，米袋从C端到 D端所用的最长时间为2.1s．