已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点(x3，y2)是y=g（x）的图象上的点．（I）写出y=g（x）的表达式；（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；（Ⅲ）当x

Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点((x)/(3)，(y)/(2))是y=g（x）的图象上的点．
（I）写出y=g（x）的表达式；
（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；
（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

（I）令(x)/(3)＝m，(y)/(2)＝n，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log₂（x+1）的图象上可得2n=log₂（3m+1），故n＝(1)/(2)log2(3m+1)，
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故g(x)＝(1)/(2)log2(3x+1)(x＞−(1)/(3))．
（II）因为g（x）-f（x）≥0，所以(1)/(2)log2(3x+1)≥log2(x+1)．
由对数函数的性质可得

3x+1＞0

x+1＞0

3x+1≥(x+1)2

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以g(x)−f(x)＝(1)/(2)log2(3x+1)/((x+1)2)＝(1)/(2)log2(9)/((3x+1)+(4)/(3x+1)+4)≤(1)/(2)log2(9)/(8)．
当且仅当3x+1=2时，即x＝(1)/(3)时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为(1)/(2)log2(9)/(8)．