已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且OP＝2e1−e2+3e3，OA＝e1+2e2−e3，OB＝−3e1+e2+2e3，OC＝e1+e2−e3．（1）判断P，A，B，C四点是否共面；（2）能否以{OA，OB，OC}作为空间的一个基底？若不能，说

Question

已知{e₁，e₂，e₃}为空间的一个基底，且

OP

＝2e1−e2+3e3，

OA

＝e1+2e2−e3，

OB

＝−3e1+e2+2e3，

OC

＝e1+e2−e3．
（1）判断P，A，B，C四点是否共面；
（2）能否以{

OA

，

OB

，

OC

}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

OP

．

Answer 1

（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使

OP

＝x

OA

+y

OB

+z

OC

，
且x+y+z=1，
即2e₁-e₂+3e₃=x（e₁+2e₂-e₃）+y（-3e₁+e₂+2e₃）+z（e₁+e₂-e₃）．（4分）
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组

x−3y+z＝2

2x+y+z＝−1

−x+2y−z＝3

解得

x＝17

y＝−5

z＝−30

与x+y+z=1矛盾，故四点不共面；（6分）
（2）若向量

作业帮用户 2017-10-21 举报

问题解析

（1）假设假设四点共面，则存在实数x，y，z使

OP

＝x

OA

+y

OB

+z

OC

，且x+y+z=1，
把各向量的坐标代入，解出的x、y、z值看是否满足x+y+z=1．
（2）任何三个不共面的向量构成空间向量的一个基底，用反证法证明向量

OA

，

OB

，

OC

共面不可能，
因此{

OA

，

OB

，

OC

}可以作为空间的一个基底，待定系数法求

OP

．

名师点评

本题考点：

空间点、线、面的位置；共线向量与共面向量．

考点点评：

本题考查向量共面的条件，使用了反证法，及用待定系数法表示空间向量．

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