能否找到100个互不相同的正整数,使得其中任意5个数的乘积都可以被这五个数的和整除

Question

能否找到100个互不相同的正整数,使得其中任意5个数的乘积都可以被这五个数的和整除

Answer 1

可以.构造吧!
先铺垫阶乘.
n!=1×2×3×4×5×6×……×n（n为非负整数）
那么如下100个数一定满足和整除积.
1×10000!,2×10000!,3×10000!,4×10000!,……,100×10000!
从中任取5个数,
设从小到大依次为：
a×10000!,b×10000!,c×10000!,d×10000!,e×10000!
那么
它们的和为：(a+b+c+d+e)×10000!
它们的积为：abcde×10000!×10000!×10000!×10000!×10000!
注意到,a+b+c+d+e＜10000
那么它一定整除10000!
因而(a+b+c+d+e)×10000!整除10000!×10000!
而10000!×10000!整除abcde×10000!×10000!×10000!×10000!×10000!
因而它们的和整除积.
证毕!
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