谁能帮我解决一道高中数学,感激不尽A,B属于（0,二分之派）且A+B不等于二分之派,角A,B满足条件：sinB=sinAcos(A+B)(1)用tanA表示tanB(2)求tanB最大值

Question

谁能帮我解决一道高中数学,感激不尽
A,B属于（0,二分之派）且A+B不等于二分之派,角A,B满足条件：sinB=sinAcos(A+B)
(1)用tanA表示tanB
(2)求tanB最大值

Answer 1

sin B =sinA cos(A+B)
sin B=sinA (cosA cos B-sin A sin B)
=sinA*cosA cos B (1-tan A tan B)
tan B=sinA*cosA (1-tan A tan B)=1/2*sin 2A (1-tan A tan B)
=1/2*sin 2A -1/2*sin 2A *tan A tan B
tan B*(1+1/2*sin 2A *tan A)=1/2*sin 2A
tan B=1/2*sin 2A/(1+1/2*sin 2A *tan A),
因为 sin 2A=2*tan A/(1+(tan A)^2),
所以 tan B=[tan A/(1+(tan A)^2]/[1+(tan A)^2/(1+(tan A)^2)]
=tan A/(1+2(tan A)^2).
设tanA=t,则t∈(0,+∞),
tan B=t/(1+2*t^2)>0,
1/tan B=(1+2*t^2)/t=1/t+2t≥2*√(1/t*2t)=2√2,等号当且仅当1/t=2t,即t=1/√2时成立
tan B≤1/2√2=√2/4,
tan B最大值为√2/4,当t=1/√2即A=π/4时成立.