如图所示，倾角为θ的斜面与足够大的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB间距为2L，BC、CD间距为4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4块完全相同、质量均匀分布的长方形

Question

如图所示，倾角为θ的斜面与足够大的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB间距为2L，BC、CD间距为4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4块完全相同、质量均匀分布的长方形薄片，紧挨在一起排在斜面上，从下往上编号依次为1、2、3、4，第1块的下边缘恰好在A处．现将4块薄片一起由静止释放，薄片经过D处时无能量损失且相互之间无碰撞．已知每薄片质量为m、长为L，薄片与斜面BC间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g．求：

（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v₁；
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a和此时第3、4块间的作用力大小F；
（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d．

Answer 1

（1）研究4块薄片整体，根据机械能守恒定律有：
   4mg•2Lsinθ=(1)/(2)(4m)

v

2 1

解得  v₁=2√(gLsinθ)
（2）对于4块薄片整体，根据牛顿第二定律有
  4mgsinθ-μmgcosθ=4ma
解得  a=(3)/(4)gsinθ
研究第4块薄片，根据牛顿第二定律有
 mgsinθ-F=ma
解得  F=(1)/(4)mgsinθ
（3）设4块滑片刚好全部滑上粗糙面时的速度为v₂，研究整体下端由A到C的过程，根据动能定理有
   4mg•6Lsinθ-(4μmgcosθ)/(2)•4L=(1)/(2)(4m)

v

2 2

设每块滑片滑到水平面时的速度为v₃，对每块滑片运用动能定理有
   mg•(9Lsinθ)/(2)-(μmgcosθ)/(2)L=(1)/(2)m

v

2 3

-(1)/(2)m

v

2 2

相邻滑片到达水平面的时间差 t=(L)/(v2)                     
由于  d=v₃t
解得 d=√(2)L    
答：
（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v₁是2√(gLsinθ)．
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a是(3)/(4)gsinθ，此时第3、4块间的作用力大小F是(1)/(4)mgsinθ；
（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d是√(2)L．