如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．（1）直接写出A点的坐标；（2）求二次函数y=ax2+bx-3的解析式，并求出抛物线的顶点

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．

（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y=ax²+bx-3的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点的距离相等？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），
∴A点横坐标为：(1−3)/(2)=-1，
∴A点的坐标为：（-1，0）；
（2）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3得：

a−b−3＝0

9a+3b−3＝0

，
解得：

a＝1

b＝−2

，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，-4）；
（3）∵x=0时，y=x²-2x-3=-3，
∴C点坐标为：（0，-3），
∴BO=3，CO=3，
∴△COB是等腰直角三角形，
过点O作OE⊥BC于点E，
则OE垂直平分BC，此时OE上的所有点到B，C两点距离相等，
∴E点坐标为：（(3)/(2)，-(3)/(2)），
将E点代入y=kx得：-(3)/(2)=(3)/(2)k，
解得：k=-1，
∴直线OE的解析式为：y=-x，
当x=1时，y=-1，
∴直线EO与直线x=1的交点坐标为；（1，-1），故P点坐标为：（1，-1）此时点P到B、C两点的距离相等．