三角函数应用题P在半圆O的直径延长线上,点Q在半圆上.以PQ为边作等边三角形PQN,使△PQN和△PQO在PQ的两侧,以知半圆的半径是r,OP=a,求四边形OPNQ的面积的最大值,并求使四边形面积取最大值的∠QO

Question

三角函数应用题
P在半圆O的直径延长线上,点Q在半圆上.以PQ为边作等边三角形PQN,使△PQN和△PQO在PQ的两侧,以知半圆的半径是r,OP=a,求四边形OPNQ的面积的最大值,并求使四边形面积取最大值的∠QOP的大小.

Answer 1

PQ^2=a^2+r^2-2arcos∠QOP
S△PQN=(1/2)*PQ^2*sin60=√3/4(a^2+r^2-2arcos∠QOP)
S△QPO=(1/2)*OQ*OPsin∠QOP=(ar/2)sin∠QOP
S=√3/4(a^2+r^2-2arcos∠QOP)+(ar/2)sin∠QOP
=√3/4(a^2+r^2)-ar(√3/2cos∠QOP-1/2sin∠QOP)
=√3/4(a^2+r^2)-arcos(∠QOP+30)
当∠QOP＝150时,cos(∠QOP+30)有最小值－1
此时面积有最大值=√3/4(a^2+r^2)＋ar