已知函数f（x）=ln（x+a）-x的最大值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；

Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x 的最大值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意x∈[0，+∞） ，有f（x）≥kx² 成立，求实数k的最大值；

Answer 1

（1）f′（x）=(1)/(x+a)-1=(1-x-a)/(x+a)，（x+a＞0）
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，-a＜x＜1-a；f（x）为增函数；
f′（x）＜0，x＞1-a，f（x）为减函数；
∴x=1-a时，函数取得极大值也是最大值，
∵函数f（x）=ln（x+a）-x 的最大值为0，
∴f（1-a）=a-1=0，得a=1；
（2）当k≥0时，取x=1，有f（1）=ln2-1＜0，故k≥0不合题意；
当k＜0时，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=ln（x+1）-x-kx²，x∈（-1，+∞）
求导函数可得g′（x）=(1)/(x+1)-1-2kx=(-x[2kx+(2k+1)])/(x+1)，
令g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=-(2k+1)/(2k)＞-1，
当k≤-(1)/(2)时，x₂≤0，g′（x）＞0，在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx²成立；
故k≤-(1)/(2)时符合题意．
当-(1)/(2)＜k＜0时，x₂＞0，g（x）在（0，-(2k+1)/(2k)）上g′（x）＜0，g（x）为减函数；
g（x）在（-(2k+1)/(2k)，+∞）上g′（x）＞0，g（x）增函数；
因此存在x₀∈（0，-(2k+1)/(2k)）使得g（x₀）≤g（0）=0，
即f（x₀）≤kx₀²，与题意矛盾；
∴综上：k≤-(1)/(2)时，对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx²成立，
∴实数 k的最大值为：-(1)/(2)；