在平面坐标系中,二次函数y=x平方-2x-8的图像与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧,与y轴交于点C,.点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.当P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?并求出此时P点的坐

Question

在平面坐标系中,二次函数y=x平方-2x-8的图像与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧,与y轴交于点C,.
点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.当P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

Answer 1

y=x^2-2x-8=(x+2)(x-4)
所以A(-2,0)、B(4,0)、C(0,-8)
设P(x,y),则0S四边形ABPC=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB
                      =(1/2)|AO||CO|+(1/2)(|CO|+|PQ|)|OQ|+(1/2)|QB||PQ|
                      =(1/2)|AO||CO|+(1/2)|CO||OQ|+(1/2)|PQ||OQ|+(1/2)|QB||PQ|
                      =8+4x+(1/2)(-y)(x)+(1/2)(4-x)(-y)
                      =8+4x-2y
                      =8+4x-2(x^2-2x-8)
                      =-2x^2+8x+24
                      =-2(x^2-4x+4)+32
当x=2时,S有最大值32,这时P(2,8)