已知函数f（x）=-x2+2tx-4在闭区间[0，1]上的最大值记为g（t）（1）请写出g（t）的表达式并画出g（t）的草图；（2）若∀t∈[0，3]，|g（t）|≤m恒成立，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=-x²+2tx-4在闭区间[0，1]上的最大值记为g（t）

（1）请写出g（t）的表达式并画出g（t）的草图；
（2）若∀t∈[0，3]，|g（t）|≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=-x²+2tx-4=-（x-t）²-4+t² 的对称轴为 x=t，
当0＜t＜1时，f（x）在区间[0，1]上的最小值g（t）=f（t）=t²-4；
当 t≤0时，f（x）在区间[0，1]上为减函数，故g（t）=f（0）=-4．
当 t≥1时，f（x）在区间[0，1]上为增函数，故g（t）=f（1）=-5+2t．
综上可得，f（x）在区间[0，1]上的最小值g(t)＝

−4，t≤0

t2−4，0＜t＜1

2t−5，t≥1

；
（2）①当t∈[0，1）时，g（t）=t²-4，
故g（t）∈[-4，-3），则|g（t）|∈（3，4]；
②当t∈[1，3]时，g（t）=2t-5，
故g（t）∈[-3，1]，则|g（t）|∈[1，3]；
综上，对∀t∈[0，3]，|g（t）|∈[1，4]，
则m≥4．