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如何证明定义为任何数的函数都能用一个奇函数加一个偶函数来表示
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如何证明定义为任何数的函数都能用一个奇函数加一个偶函数来表示
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证明：设f(x)是任意函数且x在(-∞,+∞)上所以,f(x)=0.5[f(x)-f(-x)]+0.5[f(x)+f(-x)]设g(x)=0.5[f(x)-f(-x)],h(x)=0.5[f(x)+f(-x)],则g(x)和h(x)的定义域都是(-∞,+∞),f(x)=g(x)+h(x)所以,g(-x)=0.5[f(-x)-f(x)]=-0.5[f(x)-f(-x)]h(x)=0.5[f(-x)+f(x)]=0.5[f(x)+f(-x)]所以,g(-x)=-g(x),h(x)=h(-x)所以,g(x)是一个奇函数,h(x)是一个偶函数.所以,定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,其中,g(x)=0.5[f(x)-f(-x)],h(x)=0.5[f(x)+f(-x)]
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