将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．

Question

将水注入锥形容器中，其速度为4m³/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．

Answer 1

设注入水tmin后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可
得水面直径为(3)/(4)hm，
这时水的体积为    V=(1)/(3)π((3)/(8)h)2•h=(3π)/(64)h3…（4分）
由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数h=h（t）
由此可得水的体积关于时间t的导数为V′t=V′h•h′t=((3π)/(64)h3)′•h′t=(9π)/(64)h2•h′t
由假设，注水速度为4m³/min，4t=(3π)/(64)h3∴4=(9π)/(64)h2•ht′
所以当h=5时，h_t'=(256)/(225π)m/min，
当水深为5m时，水面上升的速度(256)/(225π)m/min．        …（10分）
法（2）设t时刻水面的高度为hm
则(1)/(3)π((3)/(8)h)2h=4th(t)=

3	(256t)/(π)

…（4分）h′(t)=

3

(256)/(π)

(1)/(3t(2)/(3))…（6分）
由h(t)=

3	(256t)/(π)

=5t=(375)/(256)π…（8分）∴h′((375)/(256)π)=(256)/(225π)m/min…（10分）