一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器表面积为最小,问底的半径与容器的高的比例应该怎样?

Question

一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器表面积为最小,问底的半径与容器的高的比例应该怎样?

Answer 1

设此容器的底面半径为x,它的高为y.
根据题意,得
容器表面积S=2πxy+πx²
容器的体积V=πx²y.(1)
令F=2πxy+πx²+λ(πx²y-V)
再令Fx=2πy+2πx+2λπxy=0.(2)
Fy=2πx+λπx²=0.(3)
解方程组(1)和(2)和(3),得x=y=(V/π)^(1/3)
则S=2πxy+πx²=3(πV²)^(1/3)
故当底的半径与容器的高的比例是1:1时,使容器表面积为最小.
此时的最小表面积是3(πV²)^(1/3).
说明：此题的解法是拉格朗日法.