在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件

Question

在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的                    （ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

Answer 1

本题考查充分条件必要条件的判断，由“cosA＞cosB”推出“sinA＜sinB”证充分性，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”证必要性
【解析】
充分性：在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A＜B，
若B不是钝角，显然有“sinA＜sinB”成立，
若B是钝角，因为A+B＜π，故有A＜π-B＜，故有sinA＜sin（π-B）=sinB
综上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”
必要性：由“sinA＜sinB”
若B是钝角，在△ABC中，显然有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”
若B不是钝角，显然有0＜A＜B＜，此时也有cosA＞cosB
综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立
故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件
故选C