如图所示，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-1，0），MN与y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E=3mv20el，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场

Question

如图所示，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-1，0），MN与y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E=(√(3)mv20)/(el)，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出），现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v₀射入电场，并从y轴上A点（0，0.5l）射出电场，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场井从圆形有界磁场 边界上Q点（(√(3)l)/(6)，-l）射出，速度沿x轴负方向．不计电子重力．求：

（1）电子到达A点的速度；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？

Answer 1

（1）在A点，速度的水平分量为v₀，故A点速度为：

v=(v0)/(sin30°)=2v₀
（2）设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x_D，则
x_D=0.5ltan30°
x_D=(√(3))/(6)l
所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示．设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则
v₀=vsin30°
根据牛顿第二定律，有：
evB=m(v2)/(r)
解得：
r=(mv)/(eB)=(2mv0)/(eB)
结合几何关系，有：
r+(r)/(sin30°)=l（有r=(1)/(3)l） 
解得：B=(6mv0)/(el)
（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为 r₁，则
r₁=rcos30°=(√(3))/(2)r=(√(3))/(6)l
最小面积为，S=π

r

2 1

=(πl2)/(12)
答：（1）电子到达A点的速度为2v₀；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为(6mv0)/(el)
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是(πl2)/(12)．