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设[r,s]表示正整数r与s的最小公倍数,已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000.求三元正整数有序组(a,b,c)的个数.

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设[r,s]表示正整数r与s的最小公倍数,已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000.求三元正整数有序组(a,b,c)的个数.
▼优质解答
答案和解析
∵[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,
∴a,b,c都是形如:2m•5n的数,
设a=2m1•5n1,b=2m2•5n2,c=2m3•5n3
∵[a,b]=1000=23•53,[b,c]=2000=24•53,[c,a]=2000=24•53
∴max(m1,m2)=3,max(n1,n2)=3,
∴m3=4;m1,m2中必有一个是3;另一个可以是0、1、2或3之任意一种;
∴m1,m2的取法有7种;
同理:max(m2,m3)=4,max(n2,n3)=3,max(m1,m3)=4,max(n1,n3)=3,
∴n1,n2,n3中必有两个是3;另一个可以是0、1、2或3;
∴n1,n2,n3的取法有10种;
∴mi,ni(i=1,2,3)不同取法共有:7×10=70(种),
即三元正整数有序组(a,b,c)的个数为70.
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