如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不

Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=(5)/(4)S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+n与此图象有两个公共点时，直接写出n的取值范围．

Answer 1

（1）∵M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解之得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；

（2）在二次函数的图象上存在点P，使S_△PAB=(5)/(4)S_△MAB，
设P（x，y），
则S_△PAB=(1)/(2)|AB|×|y|=2|y|
又∵S_△MAB=(1)/(2)|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=(5)/(4)×8，
即y=±5．
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=5．
当y=5时，x=-2或x=4．
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）；

（3）如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+n=0，
可得n=1，又因为n＜1，
故可知y=x+n在y=x+1的下方，
当直线y=x+n经过点B（3，0）时，3+n=0，则n=-3，
由图可知，符合题意的b的取值范围为-3＜n＜1时，直线y=x+n与此图象有两个公共点．